Öklid
| Öklid | |
|---|---|
 | |
| Doğum | M.Ö. 330 İskenderiye, Mısır |
| Ölüm | M.Ö. 275 |
| Milliyeti | Yunan |
| Branşı | Matematik |
| Önemli başarıları | Öklid bağıntıları (ögeleri) |
Öklid gelmiş geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özdeştirilen kişidir. Geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilinen ismi ile Öğeler adını taşıyan kitabında toplamıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar. Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır. Öklid soruları Cahit Arf'ı matematiğe yakınlaştırır
Eğitimini Akademi'de tamamladıktan sonra İskenderiye’de büyük bir matematik okulu kuran Öklid, çağlar boyu matematikle ilgilenen hemen herkesin gözdesi olmuştur. Geometriyi ispat ve aksiyomlara dayalı bir dizge olarak işleyen 13 ciltlik kitabı “Elementler” bu alandaki ilk kapsamlı çalışmaydı. Kendinden önceki Tales, Pisagor, Platon, Aristoteles gibi matematikçi ve geometricilerin çalışmalarını temel alan Öklid’in bu yapıtı, iki bin yıl boyunca önemli bir başvuru kaynağı olarak kullanılmıştır. Düzlem geometrisi, aritmetik, sayılar kuramı, irrasyonel sayılar ve katı cisimler geometrisi Öklid’in kitabında ele aldığı başlıca konulardı. Öklid’in her önermeyi daha önceki önermelerden çıkarma yöntemi, kendisine atfedilen “geometrinin babası” sözünü de haklı kılar. Kitapta yer alan aksiyomlara, teoremlere ve ispatlara dayanan sentez yöntemlerinin Batı düşüncesi üzerindeki etkisinin Kitabı Mukaddes'ten sonra ikinci sırada yer aldığı söylenir. Russell, Elementler'in bugüne kadar yazılmış en büyük kitap olduğunu ileri sürer. Einstein ise “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline kapılmasın” der.
Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20. yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine bağlı olarak okutuldu.
Öklid'in yaşamı konusunda hemen,hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan Megaralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar önce yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır.
Öklid üzerinde çalıştığı proje hakkında diyorki: "bir doğru istenildiği kadar uzatabilir." ve "İki noktadan bir ve yalnız bir doğru gecer."
Öklid'in aksiyomları
Öklid geometrisinin aksiyomları şunlardır:
1- Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittirler.
2- Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilenler de eşit olur.
3- Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz.
4- Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir.
5- Bütün, parçadan büyüktür.
Öklid geometrisinin postülaları ise şunlardır.
1- İki yol arasını birleştiren en kısa yol, doğrudur
2- Doğru doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir.
3- Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri çemberdir.
4- Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5- İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük olduğu tarafta bu iki doğru kesişir.
6- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
7- Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.
8- Bir açı ortasından tutulursa çember çizilebilir.
Öklit Bağıntıları
Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.
Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.
1. Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.
h2 = p.k
2. b2 = k.a ,c2 = p.a
3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde
a.h =b.c
- Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir.
Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.
Adını ünlü matematikçi Euklides’ten alan geometri ve bu geometrinin temeli olan postulat. Euklides “postulat” sözcüğünü “aksiyom” ile eşanlamlı olarak kullanmıştır. Türkiye de içinde olmak üzere tüm dünyada bugün bile en yaygın olarak okutulan ve geometri denince ilk akla gelen, Öklid geometrisidir. Daha sonraları Riemann, Lobaçevski gibi ünlü matematikçiler Euklides’in postulatlarından birinin, ötekilerden bağımsız olduğunu kanıtlamışlar ve bu postulatı değiştirerek kendi adlarıyla anılan yeni geometriler kurmuşlardır. Söz konusu postulat (Öklid postulatı) şöyle ifade edilebilir: İki doğru bir kesence kesildiğinde, a ve b kesenin sağında, c ve d de solunda olmak üzere doğrular arasında meydana gelen dört açı için, a+b>c+d ise bu doğrular kesenin solunda, a+b<c+d ise sağında, eşitse sonsuzda kesişirler.
ÖKLİD BAĞINTILARI, “bir dik üçgende, (1) dik kenarların kareleri, hipotenüsle, onun üzerindeki izdüşümlerinin çarpımına; (2) yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımına eşittir” biçimindeki eşitlikler. Örneğin hipotenüsü a=5 cm olan bir dik üçgenin kenarlarından biri b=4 cm ise üçüncü kenar, Pithagoras Teoremi’nden c=3 cm bulunur. b’nin hipotenüs üzerindeki izdüşümü p, c’ninki de k ise, (1)den c2=p.a yazılıp p=9/5 ve b2=k.a yazılıp k=16/5 cm; (2)den de, h yükseklik olmak üzere, h2=p.k yazılıp h=12/5 cm bulunur.
Yükseklik bağıntısı
Dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğin, hipotenüsü ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımı, yükseklik uzunluğunun karesini verir.
ABC dik üçgeninde IADI2=IBDI.IDCI
h2=k.p’dir
ABC dik üçgeninde IADI2=IBDI.IDCI
h2=k.p’dir
ABC dik üçgeninde hipotenüse ait
yüksekliğe h, yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçaların uzunluklarına k ve p dersek;
c2=k . a
b2=p . a’dır.
ÖKLİT DIŞI GEOMETRİLER
Eukleides ( Öklit- İ.Ö-3.yy ) hiç şüphesiz 13 ciltlik eseri “Stoikheia” ( Elemanlar ) ile Matematik tarihinde geometrinin gelişimini çağlar boyunca etkileyen kurucu ve ekol bir isimdir.Öklit’in tanımlar,aksiyomlar ve genel kavramları kuran ve içeren eserinin en önemli bölümünde şu beş aksiyom yer alır:
1.Verilen iki noktayı bir aralık birleştirir.( İki noktadan bir doğru geçer )
2.Bir aralık her iki ucundan sonsuza dek uzatılabilir.
3.Merkezi ve bir noktası verilen bir çember çizilebilir.
4.Tüm dik açılar eşittir.
5.Verilen bir noktadan verilen bir doğruya yalnız ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir.
Öklit bu aksiyomları ile geometriyi kendi içinde çelişkisiz ve tutarlı bir bilim durumuna getirmiştir.Ta ki kendinden iki bin yıl sonrasına kadar.
Öklit’in bu tanımlamaları ve kurduğu geometri 17. ve 18.yy.a kadar kesin hakimiyetini sürdürmüş ve bu yıllarda R.Descartes, Monge , Pascal ve Poncelet’in oluşturduğu cebirsel, analitik, tasarı ve izdüşümsel geometriler de Öklitçi temellere oturmaktan kurtulamamışlardır.Ancak Öklit’in “ bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir.” dediği 5. aksiyomu 19. yy.ın başlarında matematikçiler arasında büyük tartışmaların kaynağı olmuş ve yeni geometrilerin kurulmasına ilham vermiştir.
19.yy.ın başlarında matematiğin geldiği noktada, Öklit’in 5. aksiyomunun yanlış olduğu varsayılarak, yerine başka aksiyom(lar) yerleştirilerek çok ilginç özellikler taşıyan yeni geometriler kurulmaya başlanmıştır.Bu dönemde Rus matematikçi N.Lobachevsky ( 1793-1856 ) , Macar matematikçi j.Bolyai ( 1802-1860 ) ve matematiğin taçsız kralı C.F.Gauss, Öklit’in 5. aksiyomunu kanıtlamak yerine bir başkası ile değiştirmeyi seçmekle yeni geometriler kurulabileceğini gösterdiler. N.Lobachevsky ve J.Bolyai birbirinden bağımsız olarak Hiperbolik Geometri’yi buldular.Hiperbolik geometride bir “doğru”nun düz olması gerekmez ve paralel doğrular kesişmemelerine rağmen asimptot oldukları için birbirlerinden eşit uzaklıkta kalmaz.
1854’te G.F.Bernhard Riemann ( Alman matematikçi ) 5. aksiyomun tersini kabul ederek : “Bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez.” şeklinde ve “bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.” aksiyomunu da “bir doğru sınırsızdır ama sonsuz değildir.” ( yani doğrunun başlangıç ve bitiş noktaları yoktur ama uzunluğu sonludur.) şeklinde değiştirdi.Böylece küresel
yada Eliptik Geometri’yi kurdu. B.Riemann’ın aksiyomları tüm doğruların büyük çemberler olduğu kürenin yüzeyindeki geometride gerçekleşebilir.( Büyük çember: merkezi kürenin merkezi olan kürenin yüzeyindeki bir çemberdir.Küresel geometrideki doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir.Bu yüzden hiçbir doğru paralel değildir.) B.Riemann’ın kurduğu bu eliptik geometri geliştirdiği n-boyutlu eğri uzay kavramı ve bulduğu “iki nokta arasındaki uzaklığı tanımlamanın bir geometri kurmak için yeterli olduğu” gerçeği yeni bir dönüm noktası olmuştur.
Bu noktada söyleyebileceğimiz en önemli sonuç Öklit geometrisi dışında bir bakış açısı ile baktığımızda içinde Öklit dışı geometrilerin yer alabileceği değişik “dünya”ların tanımlanabilmesidir.
Örneğin küresel geometride üçgenin iç açılarının toplamı 1800 den büyüktür ve üçgenin alanı büyüdükçe açılarının toplamı da artar.
Fransız matematikçi Henri Poincare ( 1854-1912 ) nin modeli ise çok ilginçtir.Poincare’nin düşsel evreninde merkez 00 sıcaklıkta bir daireyle belirli üç boyutlu bir modeldir.Merkezden uzaklaştıkça çevredeki sıcaklık artar.Burada nesnelerin ve varlıkların sıcaklık değişikliklerinden habersiz olduklarını her şeyin büyüklüğünün hareket ettikçe değiştiğini varsayarsak her nesne ve canlı merkeze yaklaştıkça büyür ve merkezden uzaklaştıkça orantılı olarak küçülür.Her şeyin büyüklüğü değiştiği için kimse büyüklüklerin değiştiğini fark edemeyecek ve bundan haberi olmayacaktır.Herhangi birinin adımları sınırlara yaklaştıkça küçülecek ve sınıra hiç yaklaşmıyormuş gibi görünecektir.Dolayısı ile bu dünya sonsuzmuş gibi görünür.Burada iki nokta arasındaki en kısa yol bir eğridir.( Acaba evrendeki konumumuza bakabilseydik,
ışık hızıyla yolculuk edebilseydik boyumuzda değişiklikler olduğunu fark edebilir miydik?)
20.yy.ın başında A.Einstein’in geliştirdiği genel görelilik kuramı ile Riemann geometrisi arasındaki uyum ,başlangıçta yararsız bulunan Öklit dışı geometrilerin üstünlüğünün ilk adımını oluşturdu.Ardından Hilbert’in sonsuz boyutlu metrik geometrisinin ,atom kuramının matematiksel yapısını açıklayabileceğinin ortaya çıkmasıyla Öklit Dışı Geometrilerin önemi daha iyi anlaşılmaya başlandı.
Öklitçi ve Öklit dışı geometrileri daha genel bir geometrinin özel halleri olarak düşündüğümüzde kendi içlerinde tutarlı ve çelişkisiz oldukları , bununla birlikte uygulanabilirlik açısından Öklit dışı geometrilerin daha kullanışlı ve evrenimizdeki olgulara daha isabetli açıklamalar getirmeye yaradıkları sonucuna ulaşabiliriz.
KAYNAKÇA : http://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96klid
